จินตนาการถึงอนุภาคที่เคลื่อนที่ผ่านอวกาศ ตำแหน่งของมันไม่ใช่แค่เพียงชุดของพิกัด $(x, y)$ เท่านั้น แต่เป็นเรื่องราวที่กำลังเกิดขึ้นตามเวลา แม้ว่าสมการคาร์ทีเซียน เช่น $y = f(x)$ จะให้มุมมองภาพนิ่งของเส้นทาง แต่มักจะถูกจำกัดโดย การทดสอบเส้นตรงแนวตั้ง และไม่สามารถอธิบายวัตถุที่กลับตัวไปยังจุดเดิมหรือตัดกันได้
ข้ามข้อจำกัดของพิกัดคาร์ทีเซียนเราจึงแนะนำตัวละครตัวที่สาม: ตัวแปร พารามิเตอร์ $t$โดยกำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตัวที่สามนี้ เราจะปลดล็อกเส้นโค้ง ทำให้สามารถแสดงการเคลื่อนที่ ความเร็ว และรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน เช่น วงจรและเส้นสปีรัลได้
1. นิยามพื้นฐาน
เพื่อกำหนดการเคลื่อนที่ในระนาบ เราใช้คู่ของสมการที่ $x$ และ $y$ ทั้งสองขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (โดยทั่วไปคือ $t$ สำหรับเวลา หรือ $\theta$ สำหรับมุม)
- พารามิเตอร์: ตัวแปรที่สาม $t$ ซึ่ง $x$ และ $y$ ขึ้นอยู่กับมัน
- สมการพารามิเตอร์: สมการ $x = f(t)$ และ $y = g(t)$ ที่กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์
- เส้นโค้งพารามิเตอร์: ชุดของจุด $(x, y)$ ที่ถูกระบุเมื่อพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงในโดเมนของมัน
สมการคาร์ทีเซียนใน $x$ และ $y$ อธิบายถึง ที่ใด อนุภาคเคยอยู่ที่ไหน แต่ไม่ได้บอกเราว่า เมื่อใด อนุภาคอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม สมการพารามิเตอร์ยังคงเก็บรักษารายละเอียด "ประวัติ" ของการเคลื่อนที่ไว้
โดยทั่วไป เส้นโค้งที่มีสมการพารามิเตอร์ $x = f(t), y = g(t), a \le t \le b$ จะมีจุดเริ่มต้นที่ จุดเริ่มต้น $(f(a), g(a))$ และจุดสิ้นสุดที่ จุดสิ้นสุด $(f(b), g(b))$
2. การติดตามและการจัดทิศทาง
สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะระหว่าง เส้นโค้ง (ชุดของจุดทางเรขาคณิต) กับ เส้นโค้งพารามิเตอร์ (เส้นทางที่ถูกติดตาม) ถึงแม้ว่าสองชุดของสมการจะสร้างกราฟเดียวกัน แต่พวกมันก็อาจแสดงสถานะจริงที่แตกต่างกัน หากความเร็วหรือทิศทางของการติดตามต่างกัน
ตัวอย่าง: การแทนเส้นทางพาราโบลา
พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่ตาม $y = x^2$ เราสามารถพารามิเตอร์นี้ได้หลายวิธี:
- ความเร็วคงที่: $x = t, y = t^2$ อนุภาคเคลื่อนที่ไปในแนวนอนด้วยอัตราคงที่
- การเร่ง: $x = t^3, y = t^6$ อนุภาคเริ่มต้นช้าๆ ที่จุดกำเนิด และเร่งตัวอย่างรวดเร็วเมื่อค่า $|t|$ เพิ่มขึ้น
ทั้งสองครอบคลุมเส้นทางเดียวกัน แต่อนุภาคตัวที่สองประสบกับความเร็วและอัตราเร่งที่สูงกว่ามาก